如何因式分解三次多项式

目录部分1：通过组合来分解1、把多项式分成两部分。2、找出每项中的公因子。3、把公因子提取出来。4、这两大项要是含有同样因子，可以直接合并。5、观察根，得出解。部分2：利用自由项1、把多项式整理为ax+bx+cx+d。2、把所有 "d"的因数找出来。3、找出一个因子，让多项式等于零。4、重新整理一下，如果x = 1，可以把整个方程改一下面目。5、把剩余的因数都分解出来。6、继续用自由项因数因式分解。7、于是得到的解就是之前算出来的因数了。这篇文章教你怎么因式分解三次多项式。我们要学会如何用组合方法和因式分解自由项的方法来解这类问题。

部分1：通过组合来分解

1、把多项式分成两部分。分组后分开解决。比如要分解多项式x + 3x - 6x - 18 = 0。可以把它分解为 (x + 3x)和 (- 6x - 18)

2、找出每项中的公因子。在(x + 3x)中，x是公因子。

在(- 6x - 18)中， -6 是公因数。

3、把公因子提取出来。把x从第一项提出来，得出x(x + 3)。

把-6 从第二项提出来，得出-6(x + 3)。

4、这两大项要是含有同样因子，可以直接合并。得到(x + 3)(x - 6)。

5、观察根，得出解。 若在开根的时候有x，记得可能有正负两解。得出-3、√6和-√63。

部分2：利用自由项

1、把多项式整理为ax+bx+cx+d。比如要分解多项式：x - 4x - 7x + 10 = 0。

2、把所有 "d"的因数找出来。常数"d"是不含如"x"变量的数。因数就是可以相乘得到另一个数的数。这里，10或 "d"的因数是: 1、 2、 5 和 10。

3、找出一个因子，让多项式等于零。当用d的因数替代"x"时，我们要看看哪个符合方程的解。试试第一个因数 1 ，把x替换掉，得到 (1) - 4(1) - 7(1) + 10 = 0

得到 1 - 4 - 7 + 10 = 0。

因为 0 = 0 是真实的，所以x = 1 是一个解。

4、重新整理一下，如果x = 1，可以把整个方程改一下面目。"x = 1" 等价于"x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 。我们刚刚从每边都减掉了一个1。

5、把剩余的因数都分解出来。 "(x - 1)" 是我们的一个根，看看能不能把剩余的解都提出来，一次解决一个多项式。可不可以把(x - 1) 从 x 提出来？ 不行，但是可以从第二项借一个 -x ，分解为 x(x - 1) = x - x。

可不可以把(x - 1) 从剩余部分提出来？不行，要从第三项 -7x 借一个 3x。于是得到-3x(x - 1) = -3x + 3x。

因为 -7x 中提取出一个 3x，第三项变为 -10x ，而我们的常数是10。可以分解吗？可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。

我们改变了一些变量，让其可以分解出 (x - 1) 。重新整理的方程是这样的： x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0 ，但和原先 x - 4x - 7x + 10 = 0 没什么差别。

6、继续用自由项因数因式分解。仔细观察我们在第五步中用(x - 1) 因式分解出的数字：x(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0。可以重新整理，要再一次分解容易得多: (x - 1)(x - 3x - 10) = 0。

只需要因式分解(x - 3x - 10) ，得到(x + 2)(x - 5)。

7、于是得到的解就是之前算出来的因数了。可以把每一项都代回去试试看对不对。(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 表示解是 1、 -2、5。

把-2 代入等式：(-2) - 4(-2) - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0。

把 5 代入等式：(5) - 4(5) - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0。

小提示

三次多项式是三个一次多项式的积，或者一个无法分解的二次多项式和一个一次多项式的积。后面的情况，我们将整个等式除以一次多项式得到二次多项式。

三次多项式一定能因式分解得出实数解，因为每个三次项都一定有个实根。三次方多项式如x + x + 1含有无理实根，不能被因式分解成含有整数或有理数系数的多项式。虽然可以用立方方程因式分解，这种方程还是不能分解成一个“整数”多项式。