怎么因式分解三项式

你这个前面的f(x)啥意思。。。看不懂但我可以叫你一些解题方法。 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等式变形中它都有着重要的作用。 因式分解的方法较多，除了初中教材涉及到的

本文我们将从以下几个部分来详细介绍如何因式分解三项式：二次三项式、特殊情况下分解出正确的二项式因式、含有隐藏变量的二次方程式、艾森斯坦判别法、含有一个变量的二次方程式

代数中，三项式是三个项组成的多项式，最常见的形式是二次三项式 (ax2+bx+c)。不过不是所有三项式都是二次的。有的还有更高次数。多项式在数学和科学中都很有用，学好因式分解多项式的方法，可以在很多领域中得心应手。下面介绍因式分解三项式的技巧步骤。有很多特殊三项式可以因式分解，但如果碰到分解不了的，要学会用通常方法来分解高次三项式。

一：方法【六大点】 ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am

第1步：把三项中的公因子提出来。

x^3-5x^2+17x-13 看看x等于什么可以使他等于0 显然x=1可以 所以有一个因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

如果三个项系数都有相同因数，提出来。或者含有共同变量，也提出来。

1、提公因式法 几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是

第一部分：二次三项式

⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项

第1步：把三项式参数按从大到小次数排列。

因式分解： 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的分解因式（分解因式为正式的逆运算） 因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2） 分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4 方法：提取公因式：1找多项式每项的公因式 2提

参数是多项式中的变量，正常顺序就是按次数大到小来排列的。因此 5 + x2 + 6x 要被整理成 x2 + 6x + 5

因式分解 因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对

因此而三项式3x2 + 18x + 15 中每个项都是3的倍数，3 提出来得到3(x2 + 6x + 5).

基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时

在- x2 - 2x - 1 每个项都含有 -1 ，提出来变成 (-1)(x2 + 2x + 1) ，或者更一般的形式 -( x2 + 2x + 1)

学好分解因式需要两点，一是需要好的方法，而是要多做题目，而分解因式好的方法不乏以下六大点和五小点，如果掌握熟练，会对你的因式分解有很大帮助。而多做练习也十分不开的，这会让你能更好的应用这些方法。下面是六点方法以及经典的练习： 一

三项式 3x2 y + 3xy - 60y 中每项都有 3y ，提出变成 3y(x2 + x - 20)。

因为前两个数字就是代表了第一个括号里面的两个系数， 而后面两个数字代表了第二个括号里面的两个系数。 这个方法又叫交差相乘法，就是只有不同括号里面的系数才有可能相乘。

第2步：把三项式分解成两个二项式因式。

因式分解方法： 先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式； 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的， 如果多项式的第一项是负的，一般要提出

二项式是含有两个组成部分的mx +n形式的多项式， m、n代表常数。两个二项式中的首项应该是三次项(ax2)的因数，二项式的第二项应该是三项式中常数(c)的因数。把第一个多项式首项和第二个多项式的次项相乘，然后把第二个多项式首项和第一个多项式的次项相乘就得到三次多项式的(bx)。

一、因式分解的基本方法， 1、提取公因式法， 2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。 往往在题目中多少会涉及一些其他的知识，例如配方法和十字交叉法等。 二、十字交叉法 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数

因此对于x2 + 6x + 5 ，每个二项式因式的首项都是x ，因为x乘以x是 x2。因式的次项应该是5 和 1，因为5乘以1等于5。分解出来的二项式因式应该是(x + 5)(x + 1)，可以把第一个因式的 x 乘以后一个因式的1， 得到x，然后把后一个因式x乘以前一个5，得到5x, 加起来得6x，即三项式的中间项。

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。 而在竞赛上，又有拆项和添减项法式

如果常数项有好几个不同的可能因数，那么需要一一解出正确的二项式因式。比如 x2 + x - 20，每个二项式里的第一项应该都是x，因为这里的a=1。但是c的绝对值 20可以被分解成20 乘以 1、 10 乘以 2、 5 乘以 4。看b的值，b= 1，因此所有二项式的第二项加起来一定是1。又因为c是负数 - 20，其中一个第二项一定是负数。因为 5 - 4 (或 5 加 - 4) 等于 1，正确的答案是(x + 5)(x - 4)

什么时候三项式的因式分解可以用十字相乘法 5 用十字相乘法的多项式有什么特点?是不是按某个字母的降次排列的,且共三项。但有些这样的多项式并不能用十字相乘法

第二部分：特殊情况下分解出正确的二项式因式

因式分解主要有四种方法：（1）提取公因式法。（2）运用公式法。（3）十字相乘法。（4）添项拆项分组法。其中（1）（2）种方法是比较简单的。 ※（1）方法只要有一双慧眼，能发现几个单项式中的公因式即可。 ※（2）方法主要就是要背出几个公式，

第1步：检查三项式第一或第三项是否是质数。

1、在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。 2、把一个多

质数是只能被自己或1整除的数，这样因数就少很多了。在这个例子 x2 + 6x + 5 中 5 是质数，因此只有一对解。 (x + 5)(x + 1)

在实数范围内,如果没有解,就不能,如果有解就能 在复数范围内,总有解,因而总能分解 因此看你学到哪个水平了

第2步：看看三项式是否是完全平方式。

（1）解：x2+4x+3=0，分解因式得：（x+1）（x+3）=0，x+1=0，x+3=0，解得：x1=-1，x2=-3．（2）解：x2+5x-6=0，分解因式得：（x+6）（x-1）=0，x+6=0，x-1=0，解得：x1=-6，x2=1．

完全平方式是一个项自己乘自己得到的式子。比如：1 * 1 = 1、 2 * 2 = 4、 3 * 3 = 9 等等。如果ax2 + bx + c 是完全平方式， a 和 c一定是完全平方，b一定是 a 和 c的根的和的两倍。

2(x-1)(x-9)=2(x²-10x+9)=2x²-20x+18 2(x-2)(x-4)=2(x²-6x+8)=2x²-12x+16 ∴原多项式是：2x²-12x+18

三项式x2 + 6x + 9 是完全平方式，即(x + 3)(x + 3)。 a 是 1 ，即1 的平方。 c 是 9，是3 的平方，b 是 6 ，即a 、 c 开根号的和的二倍，即 2(1 * 3)

因为八年级学因式分解，到了九年级可以学：一元二次方程。 二次三项式 ax²+bx+c 后面加上“=0” 就变成了一元二次方程。 如果二次三项式 ax²+bx+c可以因式分解，就说明这个一元二次方程有实数根。 而一元二次方程有实数根的前提就是a≠0

三项式4x2 + 12x + 9 可以因式分解为(2x + 3)(2x + 3)，也是完全平方式。 a 是 4，或2 平方，c 是 9，3 的平方，b是12，a 和c 开根号的和的两倍， 2(2 * 3)

( x + 1 )( x + 9 ) = x” + 9x + x + 9 = x” + 10x + 9， 常数项就是 9， ( x - 2 )( x - 4 ) = x” - 4x - 2x + 8 = x” - 6x + 8， 一次项就是 -6x， 原二次三项式就是 x” - 6x + 9 = x” - 2(3x) + 3” = ( x - 3 )”

注意如果是完全平方式，这个三项式的a、c一定是正数。若都是负数，提出-1，把a、b、c的符号都变过来，然后再计算。

解：﹙x－1﹚﹙x－9﹚＝x²－10x＋9 ﹙x－2﹚﹙x－4﹚＝x²－6x＋8 由题意知：原来的二次三项式是：x²－6x＋9＝﹙x－3﹚².

第3步：看看“三项式”是否实际上是一个可因式分解的二项式。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的

有的二项式也可以分解为两个二项式，形式为ax2 - c，a 和 c 都是完全平方数。或者可以看成b等于0的三项式。这些二项式可以分解为两个二项式，其中首项都相同，次项符号不同，绝对值相同。

分析:把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。(6)应用因式定理:

如4 x2 - 9 因式分解为(2x + 3)(2x - 3) 。因为2 是4 的平方根， 3是9的平方根。因为正数乘以负数等于负数，因此一个3是正的，一个是负的。得到 4x2 + 6x - 6x - 9 或者简单点， 4x2 - 9。

第三部分：含有隐藏变量的二次方程式

有的三项式看起来是高次的，但是实际上是二次的。看出来了以后，可以以如下方法解决。

第1步：检查每项变量。

如 x6 - 7x3 + 12 看起来有6次，但是用个代入法 u=x3得到 u2 - 7u + 12。这个也适用于多变量多项式。比如 x5y - 7x3y2 + 12y3 得到xy3(u2 - 7u + 12) ，这里用的替换是 u = x2/y。 这种替代法在任何第二项的次数都是首项的一半的时候都可以用。

第2步：如果可用该替代法，将替代后简单点的多项式因式分解，这里得到 u2 - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

第3步：把 x再替代回去，得到 x6 - 7x3 + 12 = (x3 - 3)(x3 - 4)，如果可能，或者需要的话，继续因式分解。

第四部分：艾森斯坦判别法

这个法则可以用在含有任何项数的多项式中，但是在三项式中尤其好用，因为很多系数都是0。这种方法不是用来因式分解的，但是可以判别是否可以因式分解。

第1步：把所有第二项和常数项的质数公因数 p找出。

第2步：每个数p都检查以下情况是否符合。

常数项一定是p的倍数但不是 p2的倍数

首项一定不是p的倍数

第3步：如果存在p，能整除除了首项以外的所有项系数，而且只能整除常数项一次，那么这个多项式不能因式分解。

可以快速用这种方法判定14x9 + 45x4 + 51 是无法分解的，因为45 、 51可以整除3，但是不能被14 整除，9也不能被51整除

第五部分：含有一个变量的二次方程式

高次、多变量的三项式可能可以化成二次甚至关于一个变量的线性方程。

第1步：比如一个三项式4x3y2 - 5x4 + 15y 是x和y的5次，但只是y的2次方程。

第2步：用该变量重写多项式形式，把其他项都当做系数，得到(4x3)y2 + (15)y - (5x4)。

第3步：用二次方程式解出y关于x的表达式。

小提示

可以在任何代数书中找题练练自己解三项式问题。

警告

虽然对二次方程有效，但三项式不一定是两个二项式乘出来的，比如 x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2)(x2 - 5x + 23)

你需要准备

代数教科书

纸和笔

参考

http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm

http://www.themathpage.com/alg/factoring-trinomials.htm

http://www.themathpage.com/alg/perfect-square-trinomial.htm

http://www.algebrahelp.com/lessons/factoring/trinomial/

http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial

扩展阅读，以下内容您可能还感兴趣。

三次方分解因式方法

因式分解法：

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次，例如：解方程x3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。

另一种换元法：

对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。

扩展资料：

盛金公式解法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

参考资料：

三次方程--百度百科

怎么做因式分解

基本方法　　 ⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

（3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法　　 ⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

×

c d

例如：因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x²+3x-40

=x²+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)²-(6.5)²

=(x+8)(x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y²+3y+2-12=y²+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x²+x+5)(x²+x-2)

=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以参看右图。

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以参看右图。

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

几道例题

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

（分解因式的过程也可以参看右图。）

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

怎样学好因式分解？

学好分解因式需要两点，一是需要好的方法，而是要多做题目，而分解因式好的方法不乏以下六大点和五小点，如果掌握熟练，会对你的因式分解有很大帮助。而多做练习也十分不开的，这会让你能更好的应用这些方法。下面是六点方法以及经典的练习：

一：方法【六大点】

⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

【五小点】

(7)配方法:对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

(8)换元法:有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

(9)利用特殊值法:将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

(10)待定系数法:首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

(11)主元法:先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

二：练习：

例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?

如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc为等腰三角形。

例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。

例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。

解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

这只是理论上的方法，至于实际上的，还得靠你自己多努力了。希望能对你有帮助。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/97747010.html?si=1

二次三项式因式分解怎么分

因为前两个数字就是代表了第一个括号里面的两个系数，

而后面两个数字代表了第二个括号里面的两个系数。

这个方法又叫交差相乘法，就是只有不同括号里面的系数才有可能相乘。

因式分解有哪几种方法？

因式分解方法：

先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的， 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

再看能否使用公式法；

平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) 

完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 

立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). 

完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 

a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] 

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) 

对于二次三项式的多项式，在不能使用公式法时要考虑十字相乘法；

具体方法：对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 

对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；

具体方法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 。

若以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法、待定系数法、求根法、图象法、主元法、利用特殊值法等分解因式的方法。

（1）配方法：可将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

（2）换元法：可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

（3）拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 

（4）待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 

（5）求根法：令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 。

（6）图象法：令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 。

（7）主元法：先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 

（8）利用特殊值法：将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。