径向分布图是通用的吗

径向分布图不是通用的。径向分布即径向分布函数通常指的是给定某个粒子的坐标，其他粒子在空间的分布几率（离给定粒子多远）。所以径向分布函数既可以用来研究物质的有序性，也可以用来描述电子的相关性。通常对于晶体，由于其有序的结构，径向分布函数有长程的峰，而对于amorphous（非晶态物质）的物质，则径向分布函数一般只有短程的峰。粒子，是指能够以自由状态存在的最小物质组成部分。最早发现的粒子是原子、电子和质子，1932年又发现中子，确认原子由电子、质子和中子组成，它们比起原子来是更为基本的物质组分，于是称之为基本粒子。

小编还为您整理了以下内容，可能对您也有帮助：

径向分布图和径向概率的区别

在二维直角坐标系中，可以画出单变量的函数的图像，得到的是曲线；在三维直角坐标系中，可以画出两个变量的函数的图像，得到的是曲面。

在三维直角坐标系中，不能画出含有三个变量的波函数Ψ(x，y，z)的图像。在球坐标系中，波函数表示为Ψ(r，θ，Φ)=R(r)Y(θ，Φ)，也不能在三维空间画出其图像。因此，波函数的变化只能从径向部分R(r)和角度部分Y(θ，Φ)分别加以讨论，从不同侧面画出其图像，以理解Ψ(r，θ，Φ)随r和θ，Φ的变化。

1. 径向概率分布图

从图5-4可以了解|Ψ|2-r的变化趋势。对于1s电子，概率密度|Ψ|2随r增大而减小。

若考虑电子在单位厚度的薄层球壳内的概率随r的变化情况，可以找出与核的距离为r处的薄层球壳厚度为△r时的概率(图5-6)。

图5-6 1s电子的图像

(a)|R|2随r变化图；(b)电子云图：(c)半径不等的单位厚度的球壳

在距离核r处的球面积为4πr2，则薄层球壳的体积近似为4πr2△r。只考虑|Ψ|2随r的变化，可以用径向概率密度|R|2代替|Ψ|2。所以，电子在与核的距离为r处、薄层球壳厚度为△r时的体积内出现的概率为

w=4πr2△r|R|2

电子在单位球壳厚度内出现的概率为

D(r)称为径向分布函数，表示距核r处在单位厚度的球壳内电子出现的概率。由D(r)对r作图，可得各种状态的电子径向概率分布图(图5-7)。

由径向概率分布图可知，1s有1个概率峰，2s有2个概率峰…，ns有n个概率峰；2p有1个概率峰，3p有2个概率峰…，np有(n-1)个概率峰；3d有1个概率峰，4d有2个概率峰……nd有(n-2)个概率峰。依此类推，电子每种运动状态的概率峰个数为

N峰=n-l

图5-7 径向概率分布图

两个峰之间有一个概率密度为0的节面，则电子每种运动状态的概率密度为0的节面数为

N节面=n-l-1

文章来源：《无机化学核心教程（第二版）》

版权与免责声明：转载目的在于传递更多信息。

如其他媒体、网站或个人从本网下载使用，必须保留本网注明的"稿件来源"，并自负版权等法律责任。

如涉及作品内容、版权等问题，请在作品发表之日起两周内与本网联系，否则视为放弃相关权利。

上一篇： 概率和概率密度

下一篇： 角度分布函数

推荐阅读：

四氢锂铝及其参与的反应（二）

细菌的非培养免疫学检测和分子生物学技术检测

乳和乳制品中苯甲酸和山梨酸的测定（二）

点赞图片

0赞

评论（0）

我也来说两句...

未登录

点击登录

签到

产品中心

菌种细胞

定务

关于化学的轨道问题 4s和3d哪个比较大，要解释，，

轨道其实是一个波，而这个波的最外面一圈的波长是无穷大的，所以不能比

近似的比较方法

1、比较最概然半径，就是两个轨道分别得出现电子概率最高的半径。4s大一点，毕竟是主量子数多了1。这个可以从径向分布图看出来

2、比较积分到95%概率的半径（一般认为达到95% 就基本上算是所有的了）这样比还是4s大一点。（（其实还是从径向分布图.........）

波函数的径向概率分布是如何定义的?径向概率分布图是怎样得到的

由波函数的径向分布图可以看出核外电子是按层分布。

波函数的径向分布图：被核势场束缚的电子，代之以电子波的图像。电子其实没有轨道的概念，只有一个大致的空间运动范围，和空间每一点上波（振动）的幅度，这个幅度在空间分布的函数，就是波函数的径向分布图

电子概率的什么表示了电子在整个空间出现的概率随半径变化的情况

电子概率的径向分布图表示了电子在整个空间出现的概率随半径变化的情况。

电子 (Electron)，是最早发现的基本粒子，带负电，电量为1.602176634×10-19库仑，是电量的最小单元，质量为9.10956×10-31kg，常用符号e表示。1897年由英国物理学家约瑟夫·约翰·汤姆生在研究阴极射线时发现。

一切原子都由一个带正电的原子核和围绕它运动的若干电子组成。电荷的定向运动形成电流，如金属导线中的电流。

利用电场和磁场，能按照需要控制电子的运动（在固体、真空中），从而制造出各种电子仪器和元件，如各种电子管、电子显微镜等。电子的波动性于1927年由晶体衍射实验得到证实。

电子（electron）是带负电的亚原子粒子。它可以是自由的（不属于任何原子），也可以被原子核束缚。原子中的电子在各种各样的半径和描述能量级别的球形壳里存在。球形壳越大，包含在电子里的能量越高。

在电导体中，电流由电子在原子间的运动产生，并通常从电极的阴极到阳极。在半导体材料中，电流也是由运动的电子产生的。但有时候，将电流想象成从原子到原子的缺电子运动更具有说明性。

半导体里的缺电子的原子被称为空穴（hole）。通常，空穴从电极的正极"移动"到负极。

电子属于亚原子粒子中的轻子类。轻子被认为是构成物质的基本粒子之一。它带有1/2自旋，即又是一种费米子（按照费米—狄拉克统计）。电子所带电荷为e=-1.6×10-19C（库仑），质量为9.11×10-31kg（0.51MeV/c2），能量为5.11×105eV，通常被表示为e⁻。

电子的反粒子是正电子，它带有与电子相同的质量，能量，自旋和等量的正电荷（正电子的电荷为+1，负电子的电荷为-1）。

什么叫做角度分布图，可以从电子云角度分布图来解释下

电子云为电子在核外空间各处出现几率密度大小的形象化描述，几率密度= |Ψ |2，|Ψ |2 的图象为电子云。因而用Y2( θ，φ )－θ，φ作图即得到电子云的角度分布图。其图形与原子轨道角度分布图相似，不同之处有两点：

由于Y≤1，Y2≤Y（更小），所以电子云角度分布图瘦些。原子轨道角度分布有+、-号之分，( Y有正负号，代表波函数的对称性并不代表电荷)，电子云的角度分布图没有正负号。

扩展资料

在量子力学中，用一个波函数Ψ（x，y，z）表征电子的运动状态，并且用它的模的平方|Ψ|²值表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所以电子云实际上就是|Ψ|²在空间的分布。研究电子云的空间分布主要包括它的径向分布和角度分布两个方面。

径向分布探求电子出现的几率大小和离核远近的关系，被看作在半径为r，厚度为dr的薄球壳内电子出现的几率。角度分布探究电子出现的几率和角度的关系。例如s态电子，角度分布呈球形对称，同一球面上不同角度方向上电子出现的几率密度相同。

p态电子呈8字形，不同角度方向上几率密度不等。有了pz的角度分布，再有n=2时2p的径向分布，就可以综合两者得到2pz的电子云图形。由于2p和3p的径向分布不同，2pz和3pz的电子云图形也不同。

参考资料来源：百度百科-电子云

参考资料来源：百度百科-电子亚层

角节面和径节面的概念

角节面是指角度分布图中的节面数，数量为l;径节面是指径向分布图中的节面数，数量是n-l-1。

例如2p轨道的角节面数为l=1,径截节面数为n-l-1=2-1-1=0；3p轨道的角节面数为l=1，径截节面数为n-l-1=3-1-1=1。

现代原子结构理论的基本观点有哪几条

1．微观粒子的波粒二相性

德布罗衣预言微观粒子都具有波粒二相性

∵ E＝hυ E＝m c2 ∴ 对于光 p＝m c ＝ 则

2．电子衍射实验证实了电子运动的波动性

微观粒子的波动性是一种统计性的几率波，这是一种抽象的波，其强度与空间某一点找到该粒子的几率成正比。

3．测不准原理 △ •△ ≥

微观粒子要同时准确地测量其位置和动量是不可能的。电子在核外运动不可能有一条严格的轨道，研究核外电子的运动只能用统计的方法找到电子在空间经常出现的区域。

4．波动方程

描述微观粒子运动的稳定状态对应规律的二阶偏微分方程，它的解是一系列的波函数ψ的具体表达式，该表达式反映空间某范围内微观粒子出现的几率。

5．四个量子数

量子数是表征微观粒子运动状态的一些特定数字，它是为使波动方程有合理的解而必须满足的三个量子化条件。（确定一个轨道用三个量子数，而确定一个电子需用四个量子数）

① 主量子数n 表征原子轨道几率最大区域离核的远近及能量高低。

n ＝1 、2 、 3 、4 …… （可取非零的任意正整数

电子层符号 K L M N O ……

② 角量子数l (或副量子数) 表征原子轨道在空间的形状及能量的高低。

l ＝ 0 、1 、2 、3 、4 …… （n－1）（可取n 个从0开始的正整数）

亚层符号 s p d f

轨道形状 分别对应为球形 、哑铃形 、蝴蝶形 、（极复杂图形）等

③ 磁量子数m 表征原子轨道在空间的伸展方向。

m＝ 0 、±1 、±2 、±3 …… ±l

④ 自旋量子数m s 表征电子自旋的两种不同方式。

6．现代原子轨道的涵义（区别于玻尔轨道）

原子轨道 由对应一组n 、l 、m 所确定的电子运动某一稳定状态。

（或波函数ψ所确定的空间区域）

原子轨道符号 ψn ，l ，m （所以，波函数ψ和原子轨道可视为同义语）

7．波函数的空间图象

① 原子轨道角度分布图 表征原子轨道在空间的形状（图中＋、－表示角度波函数ψ在该区域为正或负，不代表电荷的＋、－。）

② 径向分布图（或径向分布函数D (r) － r 图） 表示几率沿半径方向的变化情况

8．几率密度和电子云

几率密度 空间某处单位体积中出现的几率。其数学表示为 。

电子云 电子在核外空间出现的几率密度分布的形象化描述法

电子云的表述法 黑点图 ，等密度面图 ，界面图 ，轮廓图 ，径向几率密度图 ，电子云的角度分布图 。

有了一个径向分布函数的图像怎么分析

在统计力学中，粒子系统（原子、分子、胶体，……）中， 径向分布函数, (也叫做 对关联函数) 为相距参考粒子处粒子的密度。

对于均匀和各项同性体系，设参考粒子处于原点 O，粒子平均数密度为 ，距离 O 处局域时间平均密度为 。

高中化学 对核外电子运动状态描述有哪几种 哪种最详细

粘过来的，仅供参考，希望可以帮到你！

一、波函数和原子轨道

1.波动方程

描述宏观物体运动状态的状态方程F=ma，即牛顿第二定律。那么对微观粒子的运动，能不能也有个状态方程呢？1926年，奥地利物理学家薛定谔根据德布罗依预言，提出了描述微观粒子运动状态的波动方程，称为薛定谔方程其基本形式是：

这是个高等数学中的二阶偏微分方程，式中x、y、z为粒子在空间的直角坐标，m可近似看作是电子质量，E为总能量即电子的动能和势能之和，V是势能即核与电子的吸引能，ψ为方程的解（ψ是希腊字母，读做普赛[Psi]）。

薛定谔方程是用来描述质量为m的微观粒子，在势能为V的势场中运动，其运动状态和能量关系的定态方程。因为薛定谔方程的每一合理的解ψ，都表示该粒子运动的某一稳定状态，与这个解相应的常数E，就是粒子处于这个稳定状态的能量。由于有很多解，说明具有多种运动状态。对于一定体系，能量最低的状态称为基态，能量较高的状态称为激发态。粒子由一个状态跃迁到另一状态，能量的改变量是一定的，不能取任意的数值，即能量是量子化的由于薛定谔方程是高等数学中一个微分方程，与初等数学中方程不同，它的解ψ不是一些数而是些函数。它是波的振幅与坐标的函数，因此称作波函数。

2.波函数（ψ）

如上所述，波函数ψ就是薛定谔方程的解，是描述核外电子空间运动状态的数学函数式。如同一般函数式有常量和变量一样，它包含三个常量和三个变量，它的一般形式为

式中n、l、m为三个常量，x、y、z为三个变量。

电子在核外运动，有一系列空间运动状态。每一特定状态就有一个相应的波函数ψ和相应的能量E。如有1s、2s、2p、3d、4f……等等核外空间状态，就有ψ1s、ψ2s、ψ2p、ψ3d、ψ4f……和E1s、E2s、E2p、E3d、E4f……与其相对应。或者说一个确定的波函数ψ就代表着核外电子的一个空间运动状态，电子处于这个空间状态运动时就具有确定的能量和其它一些相应的物理量。

[思考题]波函数是什么，它有明确的物理意义吗？

3.波函数的图象

人们通常用几何图形来形象地描述抽象的函数式，这就是函数的图象。大家熟知的y=ax+b的图象就是一条直线。而且由数学知识还知道，一变量函数的几何图形是线，必须用二维坐标的平面图才能表示出来[图2－25，（1）]；二变量函数的几何图形是面，必须用三维坐标的立体图才能表示出来[图2－25，（2）]；以此推断，三变量函数的几何图形是立体的必须用四维坐标的办法，才能表示出来，这是十分困难的，所以多变量函数的图象表示是很复杂的。

波函数ψ既是函数，也可用图象来形象描述。但它是个三变量函数，其完整的图象是很难直接表示出来的。进一步研究，对于氢原子单电子体系。可采取数学上的坐标变换和变量分离的办法，把一般的波函数变成下列形式：

ψn、l、m（x、y、z）=ψn、l、m（r、θ、φ）=Rn、l（r）Yl、m（θ、φ）

这样，直角坐标中变量x、y、z变换为球坐标中变量r、θ、φ，并且整个波函数ψ分成为函数Rn、l（r）和Yl、m（θ、φ）两部分。Rn、l（r）这个函数的变量r是空间粒子到原点（核）的距离，是与径向有关的，因此称为径向函数或径向部分。Yl、m（θ、φ）这个函数的变量θ和φ是空间粒子与原点连线和z轴的夹角及其在xy面上投影与原点的连线和y轴的夹角（图2－26），都是与角度有关的，所以称为角度函数或角度部分。

表2-9列出若干氢原子波函数及其径向部分和角度部分角度部分图示

角度函数Yl、m（θ、φ）是二变量函数，其值是随θ和φ的变化而改变，它的几何图形是面，可用三维坐标来表示。

所有s态波函数的角度部分都和1s态相同

它是一个与角度（θ、φ）无关的常数，所以它们的角度分布图是一个

又如所有的pz态波函数的角度部分都为

Ypz和Ys不同，随θ角的大小而改变。不同θ值时的Ypz值（也可以不考虑Ypz值中的常数部分，仅取cosθ值）如下：

从原点出发引出相当于各θ角的直线，在各直线上分别截取相当于Ypz=（或cosθ值）数值的线段，联接这些线段的端点，便得到图中的曲线[图2－27，（1）]。因为相当于同一θ角的各个方向是以OZ轴为轴的锥面[图2－27，（2）]，所以须将上述曲线绕OZ轴旋转一圈，便得到上下两个封闭的立体曲面[图2－27，（3）]，这就是pz态波函数的角度部分图示。

波函数角度部分图示又称为原子轨道的角度分布图，它可理解为在距核r处的同一球面上，各点的波函数数值的相对大小。反映了波函数数值在同一球面上，不同角度，不同方向上的分布情况。如上面绘制的pz波函数的角度部分图示的曲面好似两个对顶的“球壳”。曲面上一叶的波函数数值为正，下一叶为负。

[思考题]波函数角度部分图示中的正、负号，表示的是正电荷和负电荷，对吗？为什么？

s、p、d态的波函数角度部分图示（平面图）如图2－28所示。

波函数的角度部分图示的形状与常量n无关。例如，1s、2s、3s或ns其角度部分图示的都是球形。各p态、d态和f态也是如此，各具有相同的形状，所以在这种图中常不写状态前n的数值。在化学键的形成中常用到波函数的角度部分图示。

[思考题]由波函数角度部分图示能否说s态的电子在核外空间运动是个圆，而p态电子是走8字形呢，为什么？

（2）径向部分图示

径向函数Rn，l（r）是一个变量的函数，其值是随r的变化而改变。它的几何图形是线，可用二维坐标来表示，即R（r）值与r的对画图。

图2-29给出了一些常用的氢原子波函数径向部分图示。

波函数径向部分图示，可理解为在任意指定方向上，距核为r处的某点波函数数值的相对大小。反映的是波函数相对数值在距核不同r处的分布情况，它是与常量n、l都有关。如图所示，1s态波函数的径向部分图示只为正值，而且离核越近正值越大。但其它s态的径向函数R（r）数值随r的不同也可为负值，如3s态，R（r）随r的增大由正值逐渐减小变为负值，后来又转为正值。

波函数图象上有正、负值，这是因为波函数是粒子波动性的反映，波函数在空间具有起伏性，可以为正值，可以为负值，也可以为零。波函数图象上改变正负号的点或面（即波函数数值为零），称为波函数的节点或节面。另外波具有可叠加性，波函数也具有可叠加性，其图象也可以叠加。

[思考题]波函数的图象是不是就是核外电子运动的图形，为什么？

4.原子轨道

电子在原子核外空间运动，它并不象行星绕太阳那样有一定的运行轨道。它的行为遵循量子力学的规律，它的运动状态可用波函数ψ来描述，习惯上仍称波函数ψ为“原子轨道”（或更正确称原子轨道函数或简称原子轨函）。而实际上并没有经典力学中那种“轨道”的含义，所谓原子轨道只不过是代表原子中电子空间运动状态的一个波函数，所以说原子轨道是波函数的同义语。

波函数或原子轨道的概念是结构化学讨论问题的一个基础概念，究竟怎样来理解波函数的物理意义呢？

二、几率密度和电子云

从理论上可以由薛定谔方程的解波函数来描述核外电子空间运动状态，那么波函数如何来描述核外电子空间运动状态呢？这是与电子在核外空间出现的几率密度有关的，是与微观粒子运动规律上的统计性相联系的。

1.微观粒子运动规律上的统计性

一个电子在核外极微小的空间内作非常高速的运动，它的一个稳定状态一定是千万次瞬间变化的结果。虽然它具有波动性，不可能同时准确测定它的位置和动量。但是可从千万次瞬间变化中，由统计学上的方法，用电子在核外空间出现机会的多少作几率性的判断。这也反映出微观粒子运动规律上具有统计性。

（1）日常的统计现象

机会在自然界的事物中起着很重要的作用，大量多次的事件中总包含着统计性。日常中的统计现象是很多的，比如射击打靶，运动员的命中率就遵循统计规律。虽然无法事先确定每次打中靶的具体位置，但大量射击的结果就能得出一定的规律性。比如打一千次命中十环若是五百次，那么命中十环的机会就是百分之五十；如果命中九环的是二百五十次，那么中九环的机会就是百分之二十五；如果脱靶两次，那脱靶的机会就是百分之零点二。这种“机会”的百分数（或小数）统计学上就称为几率（概率），这是大量多次行为的结果，是个统计的数字，重复次数越多，越准确。分析一下射击后的靶图（图2－30），这是张围绕中心分布的斑斑点点的图象。图中心的洞眼最密，外围的洞眼依次变稀，可以说中心的几率密度最大，外围的几率密度依次变小。这是个平面图，单位面积的几率就是几率密度。对三维空间而言，几率密度就是指空间某处单位体积中出现的几率。要注意几率与几率密度虽都是统计学上的概念，但两者是不同的，几率是指机会的多少或大小，是个百分数或小数，是没有单位（或量纲）的。而几率密度则是单位体积内的几率，有个密度的概念在里面，是有单位（或量纲）的。

核外电子的运动也具有这种统计性，下面就用统计的方法来分析电子衍射图。

（2）电子衍射图的统计分析

电子衍射图是用较强的电子流通过金属箔（作光栅），在极短的时间内得到的图片。如果设想电子流的强度小到电子是一个一个地发射出去的，在感光底片的屏上就会出现一个、一个被感光了的斑点，显示出电子的微粒性。由于电子运动具有二象性，不可能准确地知道电子在屏上的落点及中间的途径。但屏上总会有个斑点，而且每个斑点总不都重合在一起的[图2－31，（1）]。随着时间的延长，衍射斑点的数目逐渐增多，这些斑点在底片上的分布就显示出衍射图样来。只要时间足够长，得到衍射花样与强电子流极短时间得到的一样[图2-31，（2）]。由此可见，电子衍射花环的出现并不是不可思议的，它只不过是一个电子多次运动的统计性结果或是多个电子运动统计性的结果。所观察到的现象，实际是一种统计性规律的反映。因此，德国玻恩（Born，M.）认为，电子的波动性是许多相互的、条件相同的电子运动的统计结果，是和电子运动的统计性规律联系在一起的。就大量电子的行为而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，电子出现的数目多；衍射强度小的地方，电子出现的数目就少。就一个电子行为而言，可以认为是一个电子重复进行千万次相同的实验，也一定是在衍射强度大的地方出现的机会多，即几率密度大；在衍射强度小的地方出现的机会少，即几率密度小。因此，电子的衍射波在空间某点的强度是和电子出现的几率密度成正比。实验所揭示的电子波动性是大量电子运动或是一个电子进行大量多次相同实验的统计结果。电子波实质是“几率波”，波的强度反映电子出现几率密度的大小。同样，原子核外电子运动的情况也是如此，进一步分析可得如下的关系：

∵衍射强度∝粒子密度ρ（或几率密度）

而波动力学指出：衍射强度∝|振幅|2，波函数ψ正是电子波的振幅与位置坐标的函数，也即ψ就代表着电子波的振幅。

∴衍射强度∝|ψ|2

对比一下，就可得出：核外电子出现的几率密度∝|ψ|2

这样电子在核外空间某点的几率密度就可以用相应的波函数在该点所取值的绝对值平方来表示。由此也可看出，ψ是表示核外电子空间运动状态的函数；而|ψ|2则表示处于该态电子在核外空间出现的几率密度。

[思考题]核外电子的波动性真的就象横波、驻波那样吗？

2.几率密度分布的形象化表示——电子云

（1）电子云概念

波函数绝对值平方|ψ|2代表电子在核外空间各点的几率密度。因而可用小黑点的疏密程度来表示空间各点的几率密度大小，|ψ|2大的地方，黑点较密；|ψ|2小的地方，黑点较疏。以基态氢原子为例，将1s波函数平方即可求得空间各点|ψ|2的数值。

再根据|ψ1s|2的数值，按黑点的疏密程度可画出氢原子1s态的几率密度分布图形如图2－34所示。

[思考题]上述氢原子基态几率密度分布图只是一个电子运动的反映，为什么？

由上图可看出，氢原子的电子并不是在固定轨道上运动，而是在核外一个较大的空间都可以找到。而且在空间不同地点找到电子的机会并不一样，是不均匀分布的。单位体积内找到电子的机会随离核距离r增大而减小。换句话说，核附近单位体积内找到电子的机会就多如图2－32中1，反之离核越远机会就越少如图2－32中2。

但是考查不同的同心球壳（即离核不同r的球壳）中的几率总数时，发现核附近几率密度虽大，但总几率并不是最大。对氢原子来说，原子半径为52.9（pm）的球壳几率最大。

这一点可这样来理解：假定考查电子离核距离为r1、r2、r3三个单位球壳内的总几率。

若已知： r1 r2（r2=2r1） r3（r3=3r1）

各球壳几率密度ρ 0.5 0.3 0.1

∵几率=几率密度×体积，而球壳体积=4πr2×厚度，单位球壳即厚度为1的球壳。

∴各球壳总几率

∴总几率还是r2处单位球壳内最大。核附近几率密度虽最大，但因其体积小，二者乘积即总几率并不最大。

对氢原子基态，从几率密度看，由核向外是越来越少，但从球壳总几率看，在距核52.9皮米单位球壳最大。要注意的是上图中黑点数目，对一个氢原子来说并不代表电子的数目，而是代表一个电子在空间各点出现的几率大小，是一个电子运动规律上统计性的反映。

由上可看出，按几率密度的分布，电子仿佛是分布在核的周围空间，就如同这些黑点似的，象笼罩在核外的云雾一样。因而常常形象地将电子在核外空间的几率密度分布，即|ψ|2在空间的分布图称为电子云。但这并不是说电子真的象云那样分散，不再是一个粒子，只是对电子运动具有统计性的一种形象地说法。所以电子云就是电子在核外空间出现的几率密度分布的形象化描述法。

电子不同的空间运动状态，就有不同的ψ，也就有不同的几率密度分布。而其形象化的描述就是电子云，因此也就有不同形状的电子云。那么不同形状的电子云是如何得出？波函数ψ是个函数，同样|ψ|2仍是个函数。与波函数的图象一样，|ψ|2也有图象，也即电子云的图形。

[思考题]电子云就是高速运动着的电子所分散成的云，对吗，为什么？

（2）电子云的角度分布、径向分布与几率径向分布

|Y（θ、φ）|2为电子云角度分布函数。它可以理解为在距核r处的同一球面上、各点的几率密度的相对大小。反映的是几率密度在同一球面上，不同角度，不同方向上的分布情况，它与常量n无关。由|Y（θ、φ）|2－θ、φ作图，可得到电子云角度分布图。氢原子的s、p、d态的电子云角度分布如图2－33所示。

[思考题]将图2－28与图2－33对比，电子云角度分布图要“瘦”些，而且各曲面取值都是正值，这是为什么？

|R（r）|2为电子云径向分布函数，它表示在任意指定方向上，距核为r处的某点电子出现的几率即几率密度。反映的是几率密度在距核不同r处的分布情况，它与常量n与l有关。

由|R（r）|2－r作图，可得到电子云径向分布图。氢原子的1s、2s、3s和2p、3p、3d的电子云径向分布如图2－34所示。

前面谈到，电子离核越近，几率密度越大。但从几率来看，并不一定是离核越近的越大，而且不同态的情况也不一样。由于距核r处单位球壳中出现的几率为4πr2dr×几率密度，也即4πr2dr|R（r）|2，就令D（r）＝4πr2|R（r）|2为几率的径向分布函数。它反映的则是距核半径为r处的球面附近、单位厚度整个球壳内电子出现的几率，将D（r）－r作图，就得到几率径向分布图。

图2-34（2）是氢原子1s态电子的几率径向分布图。图中极大值正好在玻尔半径（r=a0=52.9pm）处。它表明在半径为52.9皮米附近的单位球壳内电子出现的几率，比任何其它地方单位球壳内的大。在这个意义上，可以说玻尔轨道是量子力学处理结果的一种粗略近似。

下面是氢原子一些不同态的几率径向分布图：

由图可看出，都有个几率最大的主峰，而且常量n值越大，主峰离核越远。这也说明核外电子虽无固定轨道，但几率分布是远近不同的，按出现几率大小，电子云是可以有不同密度的集中区域。此外2s、3s……主峰外还有小峰，说明这些态电子也有机会渗透到核附近。所以按核外电子出现几率，电子云既是可分层的，又是可相互渗透的。

电子云的角度分布图表示了电子在核外空间不同角度出现的几率密度大小，从角度侧面反映了电子几率密度分布的方向性。电子云的径向分布图反映的是几率密度在距核不同处的分布情况。而几率的径向分布图则表示电子在核外空间球壳内出现的几率随半径r变化的情况，从而反映了核外电子几率分布的层次及穿透性，常用来讨论多电子原子的能量效应（屏蔽和钻穿效应）。

（3）电子云分布图（黑点图）

上面从角度和径向两个侧面分析了几率密度即电子云的分布，而几率密度在空间的实际分布则是由上述两方面联合决定的。几率密度的空间分布，亦即是电子云分布图（黑点图）。它可由相应的电子云角度分布图和径向分布图用投影的方法得到。这种图也称作电子云的“实在图象”或电子云总体分布图氢原子的几种电子云分布图如图2－37所示。

由图可见1s和电子云的分布图虽都是球形对称的，但2s电子云有两个密度集中的区域。对2pz电子来说，电子云分布图与其电子云角度分布图还有些相似，但3pz的电子云分布图和其角度分布图则相差甚远了。这是因为电子云分布图，除了受角度分布影响外，还要反映径向分布的特点，3pz电子云径向分布图有两个峰，故使其电子云分布图出现了两个密度集中的区域。

（4）电子云的等密度面和界面图

电子在空间的分布并没有明确的边界，在r值较大，离核很远的地方电子出现的几率并不为零。但实际上在离核几百皮米以外，电子出现的几率已很小

了。为了表示电子出现的主要区域分布，可将几率密度（|ψ|2值）相同的各点联成一个曲面，构成等密度面。等密度面图可清晰地表现几率密度变化的层次。下图是2p、3p电子云的等密度面图，图中每一条封闭曲线应理解为空间的一个封闭曲面，所标的数字为几率密度的相对大小。

若从等密度面图中选出某一等密度面，电子在此面内出现的几率很大（如95％），而在此面外出现的几率很小，则可用此等密度面来表示电子云的“形状”（或轮廓），叫做界面图。图2—39是几种电子云的界面图。

[思考题]对于2p电子，电子云界面图中有节面，其几率密度为零，那么电子如何从节面下边通过节面运动到节面上边去的呢？

波函数与电子云可以有多种函数图形来表示它们的分布特征，要注意各种图形的得出并应根据函数的内容来理解，不同图示的不同含义。上面介绍的只是一般常用的几种，要求重点掌握波函数的角度部分图示与电子云几率的径向分布图。

三、波函数和电子云的区别和联系

波函数和电子云都是重要的基础概念，它们既是不同的概念，但又是有密切的联系。在物理意义上，波函数是描写核外电子空间运动状态的数学函数式，而电子云则是电子在核外空间出现的几率密度分布的形象化描述。从它们的角度部分的图形看，形状相似但略有不同，电子云的角度分布图比相应波函数的角度部分图示要“瘦”点。而且波函数的角度部分图示有正负号，而电子云的都是正值。这些就是它们的不同点。可是它们都是描述核外电子空间运动状态的，而且|ψ|2的函数图象实际就是相应的电子云的图象。

在分子模拟中，径向分布函数有什么意义

原子径向分布函数（Radial Distribution Function）：许多原子组成的系统中任取一原子为球心，求半径为r到r+dr的球壳内的平均原子数，再将每原子的结果进行平均，用函数4prr(r)dr表示（r(r）表示半径为r的球面上的平均原子密度），则RDF=4prr(r)称为原子径向分布函数。即任一原子周围，其他原子在沿径向的统计平均分布。图4-2为由x射线散射获得RDF描述非晶固体的原子分布的另两个函数为双体相关函数（双体几率函数）g(r）和约化径向分布函数G(r）约化径向分布函数：，r0为平均原子密度

实际上，要从理论上确定非晶态固体的径向分布函数，关键是获得函数r(r）。这可以通过原子状态同X射线间的干涉函数来确定。