3种方法来解三次方程

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目录方法1：解不含常数项的三次方程1、检查三次方程，看是否包含常数项d{displaystyle d}2、提取方程的公因式x{displaystyle x}3、如果可能，将得到的二次方程因式分解。4、如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。5、零和二次方程的解就是三次方程的解。方法2：使用因数表求整数解1、确保三次方程有一个d{displaystyle d}2、找出a{displaystyle a}3、用a{displaystyle a}4、手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。5、使用更复杂，但可能更快速的综合除法。方法3：使用判别式方法1、写下a{displaystyle a}2、使用正确的公式计算判别式零。3、然后，计算Δ1=2b3?9abc+27a2d{displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}4、计算:5、计算:6、使用变量计算三个根。三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是

方法1：解不含常数项的三次方程

1、检查三次方程，看是否包含常数项 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}。三次方程的形式为 ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 。但是，唯一必要的关键项是 ${displaystyle x^{3}}$ ，这意味着三次方程中未必会出现其他项。如果方程中包含常数项 ${displaystyle d}$ ，那么你就必须使用其它解法。

如果 ${displaystyle a=0}$ ，那么这个方程就不是三次方程。

2、提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ x{displaystyle x}。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量 ${displaystyle x}$ 。也就是说，可以提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ 来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为 ${displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}$ 。例如，假设我们一开始要解的方程是 ${displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}$ 。

提取方程的公因式 ${displaystyle x}$ ，得到 ${displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}$ 。

3、如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式 ${displaystyle x}$ 后得到的二次方程 ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ 都能被因式分解。例如，如果要解 ${displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}$ ，你可以：提取公因式 ${displaystyle x}$ ： ${displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}$

将括号内的二次方程因式分解： ${displaystyle x(x+7)(x-2)=0}$

设各因式等于 ${displaystyle 0}$ 。得到方程的解 ${displaystyle x=0,x=-7,x=2}$ 。

4、如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 的值代入二次公式( ${displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ )中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。示例中，将 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 和 ${displaystyle c}$ 的值 ${displaystyle 3}$ 、 ${displaystyle -2}$ 和 ${displaystyle 14}$ 分别代入到以下二次公式： ${displaystyle {frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ${displaystyle {frac {-(-2)pm {sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {(4-168}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2pm {sqrt {-164}}}{6}}}$

解1: ${displaystyle {frac {2+{sqrt {-164}}}{6}}}$ ${displaystyle {frac {2+12.8i}{6}}}$

解2: ${displaystyle {frac {2-12.8i}{6}}}$

5、零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为 ${displaystyle 0}$ 。将方程分解为包含两个因式的形式 ${displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}$ ，左边的因式是变量 ${displaystyle x}$ ，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于 ${displaystyle 0}$ ，则整个方程等于 ${displaystyle 0}$ 。

因此，使括号内的二次因式等于 ${displaystyle 0}$ 的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于 ${displaystyle 0}$ 的 ${displaystyle 0}$ 本身，也是三次方程的解。

方法2：使用因数表求整数解

1、确保三次方程有一个 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}值不等于零的常数项。如果形式为 ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 的方程拥有一个不等于零的 ${displaystyle d}$ 值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。以方程 ${displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}$ 为例。这个方程中，要让等号的右边等于 ${displaystyle 0}$ ，你需要两边都加 ${displaystyle 6}$ 。

得到新的方程 ${displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}$ 。由于 ${displaystyle d=6}$ ，你无法使用二次方程方法。

2、找出 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}和 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的因数。要解三次方程，我们需要先关注 ${displaystyle x^{3}}$ 项的系数 ${displaystyle a}$ 以及方程最后的常数项 ${displaystyle d}$ ，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。例如，由于你可以用 ${displaystyle 6imes 1}$ 和 ${displaystyle 2imes 3}$ 得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。

例题中， ${displaystyle a=2}$ ，而 ${displaystyle d=6}$ 。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。

3、用 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}的因数除以 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的因数。将 ${displaystyle a}$ 的各因数除以 ${displaystyle d}$ 的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。例题中，用 ${displaystyle a}$ 的因数1和2除以 ${displaystyle d}$ 的因数1、2、3、6，得到： ${displaystyle 1}$ ， ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle 2}$ 和 ${displaystyle {frac {2}{3}}}$ 。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整： ${displaystyle 1}$ ， ${displaystyle -1}$ ， ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{3}}}$ ， ${displaystyle {frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle -{frac {1}{6}}}$ ， ${displaystyle 2}$ ， ${displaystyle -2}$ ， ${displaystyle {frac {2}{3}}}$ 和 ${displaystyle -{frac {2}{3}}}$ 。三次方程的整数解就在其中。

4、手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于 ${displaystyle 0}$ ，进而求出方程的解。例如，如果将 ${displaystyle 1}$ 代入方程，可以得到： ${displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}$ ，即 ${displaystyle 2+9+13+6}$ ，结果不等于 ${displaystyle 0}$ 。因此，使用得到的下一个值。

如果将 ${displaystyle -1}$ 代入方程，得到 ${displaystyle (-2)+9+(-13)+6}$ ，结果等于 ${displaystyle 0}$ 。这意味着 ${displaystyle -1}$ 是方程的一个整数解。

5、使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 和 ${displaystyle d}$ 。如果得到余数 ${displaystyle 0}$ ，那么这个值就是三次方程的解。综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0

由于得到的最终余数为 ${displaystyle 0}$ ，由此可知， ${displaystyle -1}$ 是三次方程的一个整数解。

方法3：使用判别式方法

1、写下 ${displaystyle a}$ a{displaystyle a}、 ${displaystyle b}$ b{displaystyle b}、 ${displaystyle c}$ c{displaystyle c}和 ${displaystyle d}$ d{displaystyle d}的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下 ${displaystyle a}$ 、 ${displaystyle b}$ 、 ${displaystyle c}$ 和 ${displaystyle d}$ 的值，免得之后混淆。对于例题 ${displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$ ，写下 ${displaystyle a=1}$ 、 ${displaystyle b=-3}$ 、 ${displaystyle c=3}$ 和 ${displaystyle d=-1}$ 。注意，如果有 ${displaystyle x}$ 变量前没有系数，这代表它的系数为 ${displaystyle 1}$ 。

2、使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式 ${displaystyle Delta _{0}=b^{2}-3ac}$ 中，求出第一个重要数值，即判别式零 ${displaystyle Delta _{0}}$ 。判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是( ${displaystyle b^{2}-4ac}$ )。

例题中的计算过程如下： ${displaystyle b^{2}-3ac}$ ${displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}$ ${displaystyle 9-3(1)(3)}$ ${displaystyle 9-9=0=Delta _{0}}$

3、然后，计算 ${displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}$ Δ1=2b3?9abc+27a2d{displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}。你需要的下一个重要数值是判别式 ${displaystyle 1}$ ，即 ${displaystyle Delta _{1}}$ ，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与 ${displaystyle Delta _{0}}$ 基本相同。将适当的值代入到公式 ${displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}$ 中，得到 ${displaystyle Delta _{1}}$ 的值。例题中的计算过程如下： ${displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}$ ${displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}$ ${displaystyle -54+81-27}$ ${displaystyle 81-81=0=Delta _{1}}$

4、计算: ${displaystyle Delta =(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div -27a^{2}}$ 。然后，我们会使用 ${displaystyle Delta _{0}}$ 和 ${displaystyle Delta _{1}}$ 的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。

例题中，由于 ${displaystyle Delta _{0}}$ 和 ${displaystyle Delta _{1}}$ 都等于 ${displaystyle 0}$ ，所以 ${displaystyle Delta }$ 的计算相对简单。计算过程如下： ${displaystyle (Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})div (-27a^{2})}$ ${displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})div (-27(1)^{2})}$ ${displaystyle 0-0div 27}$ ${displaystyle 0=Delta }$ ，所以方程有一个或两个解。

5、计算: ${displaystyle C=^{3}{sqrt {left({sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}+Delta _{1}ight)div 2}}}$ 。最后一个需要计算的重要数值是 ${displaystyle C}$ 。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 ${displaystyle Delta _{1}}$ 和 ${displaystyle Delta _{0}}$ 。例题中， ${displaystyle C}$ 的计算过程如下： ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3})+Delta _{1}}}div 2}}}$ ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}div 2}}}$ ${displaystyle ^{3}{sqrt {{sqrt {(0-0)+0}}div 2}}}$ ${displaystyle 0=C}$

6、使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式 ${displaystyle -(b+u^{n}C+Delta _{0}div (u^{n}C))div 3a}$ 计算，其中 ${displaystyle u=(-1+{sqrt {-3}})div 2}$ ，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。

例如，将1代入到 ${displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}$ 中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。

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方法1：解不含常数项的三次方程

方法2：使用因数表求整数解

方法3：使用判别式方法

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